La computación podría estar cambiando la percepción de que la matemática es abstracción pura, poesía, y de que la conexión entre hombres y números es espiritual. En el vasto mundo de los números y los cálculos se enfrentan: los entusiastas del ordenador y los puristas. Antes de que las letras se convirtieran en palabras, se inventaron los números. Los humanos primitivos pudieron utilizar los dedos para contar. Los número para unos son la demostración más exacta del pensamiento abstracto, pero otros la matemática es el peor dolor de cabeza.
Las diversas culturas abordaron y resolvieron problemas prácticos y teóricos a lo largo de miles de años. El desarrollo matemático está ligado al avance de la sociedad y sus necesidades. Desde calcular volúmenes de depósitos de petróleo hasta medir la Tierra, predecir eventos astronómicos y llevar el hombre a la Luna, las operaciones matemáticas son ineludibles. Y han sido parte importante en civilizaciones como la griega, china, india y árabe. Figuras como Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Fibonacci marcaron hitos. Con el Renacimiento en el siglo XV, los desarrollos matemáticos interactuaron con descubrimientos científicos y tuvieron un crecimiento exponencial
Desde las primeras evidencias de conteo y medida hasta los complejos sistemas matemáticos del siglo XXI se hicieron directamente del cerebro a la pizarra o al papel, pero con la aparición de las computadoras la matemática deja de ser una abstracción humana. La escritora y periodista Siobhan Roberts sostiene gracias a la computadora personal los errores en las matemáticas no son lo que eran. Entraron en otra dimensión.
Un error en un teorema fundamental
Mientras degustaba una copa de vino, el matemático Vladimir Voevodsky descubrió que había cometido un error en uno de sus trabajos más importantes. Reconocido mundialmente por sus contribuciones a la geometría algebraica y galardonado con la Medalla Fields, Voevodsky asistía en 2013 a una cena en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton donde pasa temporadas trabajando en proyectos matemáticos intensivos. Fundado en 1930, se le considera el «templo terrenal de la física y de la matemática teórica» y ha albergado a importantes científicos como Albert Einstein.
El error que sacudió los cimientos de la comunidad matemática. Voevodsky, tan riguroso como meticuloso, ha construido una sólida carrera basada en la solidez de sus teoremas. Habiendo nacido en 1966, descubrió su interés por las matemáticas de forma autodidacta. Expulsado de la Universidad de Moscú por no asistir a clases, acreditó su licenciatura en matemáticas colaborando con los matemáticos Yuri Shabat y Misha Kapranov, que lo recomendaron para que la Universidad de Harvard le permitiera realizar estudios de posgrado.
Su tesis doctoral en 1992 marcó el inicio de una línea de ideas en geometría algebraica y le valió la Medalla Fields en 2002, una especie de Nobel en matemáticas. Sus desarrollos sobre homotopía algebraica y cohomología motivica lo catapultaron a la fama.
Tardó 15 años en encontrar la equivocación
En 2001, a los 36 años de edad, se convirtió en profesor titular en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, aunque en 1998, el matemático estadounidense Carlos Simpson le había cuestionado un resultado publicado con Kapranov en 1990. Voevodsky pasó años tratando de encontrar el error en su demostración sin éxito, finalmente lo encontró en el otoño de 2013, luego del trago de vino en la cena con sus colegas.
Se enfrentó a la dura realidad de que uno de sus pilares fundamentales era incorrecto. Lo documentó en su lista oficial de publicaciones. El impacto fue profundo. El error se confirmó 25 años después de su publicación original. Voevodsky aprendió cuán fundamental es la autoverificación en matemáticas. La componen un 5% de intuición creativa y un 95% de rigurosa revisión.
No era la primera vez. Voevodsky experimentó un error similar en un artículo de amplia difusión y aplicación en su campo. Un error menor que pudo corregir construyendo una ruta alternativa. Dos errores en sesenta trabajos no es un mal margen, pero le preocupaba. No fue un simple accidente, como él mismo señaló. El artículo era complejo y los lectores, en general, sienten pereza de verificar argumentos técnicos de autores confiables. Después de todo, si algo se parece a argumentos considerados correctos, rara vez se verifica en detalle.
Asistente de pruebas: un ordenador
La confirmación del error en su trabajo más importante lo sumió en una profunda crisis de confianza. La duda sobre la veracidad de sus investigaciones lo llevó a cuestionar su metodología y a buscar otras herramientas para garantizar la exactitud de sus descubrimientos. Entendió que la autoverificación era esencial. Por cada hora dedicada a una idea, necesitaba invertir otras 19 en asegurarse de su validez. Cuanto más original la idea, más costoso el proceso. La solución era el «asistente de pruebas», programas informáticos diseñados para verificar de forma exhaustiva las demostraciones matemáticas.
Desde 2003, Voevodsky investiga las posibilidades de la formalización de las matemáticas asistida por ordenador. El error cometido fue un pequeño regalo. Fortaleció su argumento a favor de sistemas que, al imitar el razonamiento lógico humano, permiten a los matemáticos explorar nuevas ideas con una seguridad sin precedentes.
Voevodsky le pide al asistente de pruebas -«interactivo, emocionante y un poco adictivo»- que pruebe esto y aquello, incluso cálculos equivocados, para ver qué sucede. Cuando comete un error, todas las líneas de código desaparecen ante sus ojos (aunque guarda el trabajo en un archivo llamado «restos»). Ua vez que Voevodsky demuestra algo, el asistente de pruebas proporciona un sello de autenticidad. Confirma que es cierto y elimina cualquier preocupación sobre errores ocultos.
Aunque Voevodsky es pionero en este campo, la idea de asistentes de pruebas tiene su tiempo. Data de 1968, el «Automath». Desde entonces ha evolucionado un vasto ecosistema de asistentes de pruebas. A los ordenadores se les enseña los trucos matemáticos, dándole axiomas y pidiendo que deduzcan pruebas utilizando las leyes de la lógica.
Matemáticos y poetas de los números
La irrupción de las computadoras en el campo matemática ha generado un intenso debate sobre el futuro de la disciplina. Mientras algunos las ven como poderosas aliadas que revolucionan la investigación, otros les temen como una amenaza para la esencia misma de las matemáticas.
Doron Zeilberger, matemático de Rutgers y visionario tecnológico ha publicado numerosos artículos con su “coautor” Shalosh B. Ekhad, el nombre que le puso a sus ordenadores a lo largo de su carrera. Para Zeilberger, el ordenador no es una herramienta, es un colega. «Un enfoque que revolucionará las matemáticas, es como si conectara con algo más allá de la lógica y el cálculo, casi artístico», dice. La rigurosidad tradicional de las pruebas formales podría volverse obsoleta, los ordenadores son increíblemente poderosos.
En el otro lado de la acera, el matemático Horton Conway, de Princeton, conocido por descubrir los grupos de Conway en simetría matemática, los números surreales y el famoso autómata celular “Game of Life”, no está convencido por completo de los ordenadores. Le gustan las matemáticas recreativas y los desafíos, prefiere la belleza de las matemáticas tradicionales, basadas en la intuición y el razonamiento. Son una herramienta útil, pero no pueden reemplazar la experiencia de descubrir un teorema por uno mismo», dice.
Cuando en 1976 se demostró por ordenador el teorema de los cuatro colores, Conway no quedó tan impresionado. Incluso cuando Thomas Hales resolvió la conjetura de Kepler en 1998 mediante programación lineal, Conway no se sintió satisfecho. Aunque no juzga a quienes los utilizan, considera que los ordenadores matan la chispa creativa.
Más que números y cálculos
El auge de las computadoras en el campo de las matemáticas intensificó el debate sobre la calidad e integridad de las demostraciones matemáticas. Si bien han demostrado ser herramientas poderosas para verificar y descubrir verdades matemáticas, desencadenaron una preocupante tendencia: la disminución de la rigurosidad y la proliferación de errores en las publicaciones matemáticas.
Históricamente, los matemáticos han debatido la relación entre ordenadores e intuición. Muchos se resisten a aceptar la prueba informática de la conjetura de los cuatro colores. La ecuación “Ordenadores + matemáticas = prohibido” se impuso con el argumento de evitar la pérdida del elemento humano: la intuición y la comprensión. Reconocer algo como cierto porque lo dice un ordenador no es lo mismo que entender por qué es cierto. Sería como preferir reseñas en Internet sobre los misterios de Venecia escritas por la IA en lugar de visitarlos personalmente.
Edward Frenkel, autor de “Love and Math”, argumenta que las matemáticas no son solo números y cálculos, sino de encontrar conexiones entre cosas aparentemente desconectadas. Ver lo invisible. Los descubrimientos matemáticos llegan como intuiciones, y en el momento del hallazgo, se conecta con algo más allá de la lógica y el pensamiento.
Muchos matemáticos rechazan la idea de que una demostración realizada por una máquina pueda considerarse completamente rigurosa, sobre todo con la creciente complejidad de las matemáticas modernas que requiere el uso de herramientas computacionales muy complejas costosas.
Inevitable preferir lo fácil y más sencillo
Gradualmente se acepta su inevitabilidad del asistente de pruebas. A medida que las matemáticas avanzan hacia terrenos más intrincados, los ordenadores serán esenciales para autentificar la integridad de estructuras masivas e incomprensibles, incluso entre colegas del mismo campo.
La presión por publicar rápidamente, la complejidad creciente de las teorías y la tentación de tomar atajos han generado que los errores sean cada vez más frecuentes y la comunidad matemática se enfrenta a un desafío muy preocupante: la escasa rigurosidad en las demostraciones. La cultura que premia la cantidad sobre la calidad, la prueba rápida y la pronta publicación socava la confianza en los resultados matemáticos y dificulta la transmisión del conocimiento a las nuevas generaciones.
Vladimir Voevodsky distingue diferentes formas de uso de ordenadores en matemáticas, como el cálculo, las pruebas generadas por ordenador y las pruebas asistidas por ordenador para la verificación de pruebas y la prevención de errores. También reconoce que la cultura y la práctica de cómo se producen los errores con los asistentes de pruebas son un obstáculo que amenazan los cimientos y el futuro de las matemáticas.
Las matemáticas, los ordenadores y las intuiciones
Voevodsky y otros investigadores han propuesto el uso de asistentes de prueba, que pueden evitar errores y garanticen resultados correctos. Aseguran que empujan a los matemáticos hacia estándares más estrictos. Sin embargo, que no son una solución mágica. Los matemáticos deben ser cautelosos al tomar atajos que sacrificar la calidad de las demostraciones. Asimismo, puede ser síntoma de un desprecio por la precisión y la honestidad en la demostración de teoremas.
El último aporte de Voevodsky, que utilizó la potencia de la informática para mejorar la calidad y la precisión de las pruebas matemáticas, para que los errores no pasaran inadvertidos fue el axioma univalente o axioma de univalencia. Un programa informático, que incorpora conceptos de topología y geometría algebraica en la teoría de tipos, diseñado para detectar errores ocultos en las demostraciones realizadas por matemáticos humanos.
Consideraba que los matemáticos deben continuar desarrollando su intuición y su capacidad para formular preguntas profundas. De ahí que Voevodsky alternaba entre su asistente de pruebas y sus esfuerzos tradicionales con lápiz y papel. Cada vez que sentía la tentación de tomar atajos, se preguntaba: «¿Sería capaz de salirme con la mía con un razonamiento poco sólido en compañía de mi fiel asistente de demostración?». La respuesta era clara: No.
Edward Frenkel decía que los descubrimientos en esta milenaria ciencia «llegan como intuiciones». Los ordenadores pueden constituirse en herramientas invaluables para explorar y confirmar esas intuiciones, pero la creatividad humana seguirá siendo esencial para formular nuevas preguntas y establecer conexiones profundas con lo invisible
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